ÉTUDE THÉORIQUE

DU SYSTÈME DIFFÉRENTIEL

Le système différentiel :

{ V = W W = - 4V (V - 1) + p W
(p sera toujours positif) possède deux points fixes : ( ) 0 0 et ( ) 1 0.

I- Étude du premier point fixe

La linéarisation au voisinage de l’origine donne la matrice ( ) 0 1 4 p dont le polynome caractéristique est : c2 - pc - 4 = 0 de discriminant positif, le produit des racines étant négatif :

V~ --------- V~ --------- 2 2 c= p-+-----p--+--16 > 0 c = p-------p--+-16- < 0 1 2 2 2
Les vecteurs propres correspondant sont :
( ) ( ) V~ 1----- V~ 1----- U1 = p+---p2+16- et U2 = p----p2+16- 2 2
Pour p = 3, on trouve : ( ) 1 4 et ( ) 1 - 1 :
PIC

Le point fixe à l’origine est un point selle. Seule la solution Cec2u U2 tend vers l’origine quand u --> + oo . Pour p = 3 la tangente à l’origine est alors la deuxième bissectrice.


En remontant en sens inverse pour u, cette solution est la seule (p est quelconque et n'est pas forcément égal à 3) à donner un mascaret avançant sans se déformer.

II- Étude du deuxième point fixe

V -~ 1 V = 1 + a

{ ' a = W W ' = - 4(1 + a)a + pW -~ - 4a + pW
La matrice est : ( 0 1 ) - 4 p qui donne c2 - pc + 4 = 0. D = p2 - 16 . p > 4. S > 0 P > 0 ==> c1 et c2 > 0 point fixe instable.

p < 4 S réelle positive, c1 et c2 complexes conjuguées avec la même partie réelle positive ==> Spirale instable.

Notons que pour intégrer numériquement le système, il faut partir de l’origine, en remontant vers les u décroissants, car on est alors sûr de converger rapidement vers le mode stable (le seul à donner un mascaret) qui dans ce sens devient le seul mode instable. La composante de la solution sur U1 tend rapidement vers 0. On a donc pris du négatif dans l’intégration numérique, et on part de l’origine suivant la deuxième bissectrice.

III- Étude du cas p = 0

Rappelons que dans l’équation différentielle, p > 0. Le système différentiel devient :

{ V = W W = - 4V (V - 1)
Pour p = 0, c2 = -4, c = ±2i pour le deuxième point fixe qui devient donc un centre.

La quantité E = 4V 2 -8V-3 3 - W2 se conserve.
( ) ( ) À l’origine : U1 = 1 U2 = 1 2 - 2
Le flot est parallèle aux axes pour W = 0 (y) ou V = 1 (x). Sur l’orbite passant par O, E est constamment nulle. Or, pour le deuxième point fixe, E = 12--8 3 = 4 3 > 0. Le flot tourne donc autour de ce point. Partons de O dans les sens des u croissants, par le vecteur   1 correspondant à la variété instable. W > 0, donc V augmente. W > 0 ; W augmente aussi. V augmentera donc de plus en plus rapidement, jusqu’à V = 1 où      =   0   . Ensuite, W diminue, et V augmente de moins en moins vite, W devenant de plus en plus négatif. On arrive alors nécessairement en un point où W = 0, donc où la tangente est verticale. Remarquons maintenant que le flot est symétrique pour la transformation u -->-u, W -->-W et V --> V . On dit que le système est réversible. L’orbite retourne donc à l’origine par symétrie par rapport à l’axe des V , en arrivant par la variété stable. D’où le dessin ci-dessous.

IV- Étude du cas p < 4  : mascaret ondulant

1- Maximum de E au point fixe (1,0)

3 E = - W 2 + 4(a + 1)2 - 8 (a-+--1)-- 3 8 = - W 2 + 4(a2 + 2a + 1) - --(a3 + 3a2 + 3a + 1) 3 2 2 4 2 = - W - 4a + --+ O(a ) 3

E est donc maximale au point fixe ( ) 1 0.

Pour W = 0 E = 4V 2 - 3 8V3--. Étudions la fonction y = 4x2 - 3 8x3- ; y' = 8x(1 - x).


2- Décroissance de E au cours du mouvement sur la trajectoire

E = 4V 2 - 8V3- 3 - W2. Rappelons que p > 0.

dE =8V W - 8V 2W - 2W (- 4V 2 + 4V + pW ) = - 2pW 2 < 0 du

3- Lieu des points où W= 0

W= 0

- 4V 2 + 4V + pW = 0
4- W = pV (V - 1)
Il s’agit donc d’une parabole.

4- Trajectoire dans l’espace des phases, reliant les deux points fixes, pour 0 < p < 4

Remarquons tout d’abord, d’après le II, que la trajectoire, en remontant vers les u décroissants, se termine par une spirale. Il y a donc toujours oscillation pour V quand on tend vers le deuxième point fixe.

Remontons donc vers les u décroissants à partir de l’origine sur l’orbite correspondant à la variété stable. V > 0 W < 0. V négatif, donc V augmente lorsque u décroît. La pente à l’origine de la parabole vaut -4p, tandis que pour la trajectoire, on a : V~ -2---- p----p-+16 2 qui est plus grand que -4 p.   La trajectoire est donc à l’intérieur de la parabole.    W est positif. Donc la trajectoire descend et nécessairement rencontre la parabole, et c’est là que la tangente est horizontale (W = 0). La trajectoire ne peut recouper une deuxième fois la parabole en restant en dessous de l’axe des V , car il y aurait un point à tangente verticale qui ne serait pas sur l’axe des V , ce qui est impossible. La trajectoire ne peut pas non plus arriver directement au deuxième point fixe, car au voisinage de ce dernier, la trajectoire est en spirale (voir le II). Par conséquent, la trajectoire coupe l’axe des V à l’extérieur de la parabole, puis remonte en partant à gauche (W < 0 et V > 0). La trajectoire recoupe donc la parabole, puis redescend en allant à gauche. La tangente est verticale au point où l’axe des V est de nouveau coupé, et on est ramené qualitativement à la même trajectoire que précédemment, mais plus près du deuxième point fixe, puisque la fonction de Liapunov E est constamment croissante quand on remonte les u. On voit donc que la trajectoire est une spirale qui tend vers le deuxième point fixe, et que V oscille.