RÉSOLUTION THÉORIQUE DE L’ÉQUATION DE

KORTEWEG-DE VRIES-BURGERS

K-dV :

( ) 2 3 @q- V~ ---- 3-q-- @q-- V~ ----h0---@-q- + gh0 1 + + gh0 3 = 0 @t 2 h0 @x 6 @x
avec C0 = V~ gh 0 ; devient, lorsqu’on ajoute un terme de dissipation, l’équation de K-dV-Burgers :
( ) @q V~ ---- 3 q @q V~ ----h02 @3q @2q - + gh0 1 + ----- ----+ gh0 ---- ---3-= R ---2- @t 2 h0 @x 6 @x @x

Posons : X = x - C0t (on avance avec la vitesse des ondes de faibles amplitudes) ;

@f-- @f--@u-- @f--@v-- f (u(x, y),v(x, y)) ; = + @x @u @x @v @x
Ici : X = x - C0 t et T = t.
q(x, t) = q (X (x, t),T (x, t))
@q @q @q --- = - C0 -----+ ---- @t @X @T

-@q- @q--- = @x @X
On obtient l’équation :
@q 3C0 @q h02 @3q @2q --- + -----q----- + C0 ----------= R ------ @t 2h0 @X 6 @X 3 @X 2

Posons : x1 = 2h0- 3C0X ; il vient :

3 2 @q- + q-@q--+ d-@--q-- e @--q--= 0 @t @x1 @x13 @x12
avec d = 4/81 5 h02 C0 et e = R4 9 2 h02- C0.

On cherche des solutions sous la forme d’ondes progressives avançant à la vitesse C : j = x1 - Ct ; q = f(j).

' ' ''' '' - Cf + ff + df - ef = 0
2 '' ' f-- df - ef + 2 - Cf = A
j --> +o o f = 0 ==> f'et f''= 0 ==> A = 0

f2 df'' - ef'+ ---- Cf = 0 2

Une solution particulière est : f = 2C ; on pose y = -f- 2C.

d '' 4e ' 4 --y - --y + 4y(y - 1) = 0 C C

On pose : u = V~ --- C- 4dj et p = -2e-- V~ Cd et on obtient l’équation :

y''+ 4y(y - 1) = py'

On résout ensuite dans le plan le système :

{ V = W W = - 4 V (V - 1) + p W

On peut théoriquement connaître la structure des solutions, mais une intégration numérique donne rapidement le résultat (animation précédente).